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シミュレーションからリアルタイム処理へ

ここでは，図D.1に示す倒立振子のオブザーバ+状態フィードバックによる制御について，シミュレーションおよびリアルタイム制御のプログラムの例を示す。

**図 D.1:** 倒立振子制御系の実験装置
$\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Fig/pendulum.eps}$

台車についての運動方程式は

$\begin{displaymath}M \ddot{r} = au - F\dot{r} - H \end{displaymath}$

である。ただし

M	[kg]	:	台車・プーリ・モータ系の等価質量
r	[m]	:	台車の変位
u	[V]	:	パワーアンプへの入力電圧
a	[N/V]	:	uから台車に働く力までのゲイン
F	[N/(m/s)]	:	台車・ベルト・プーリ・モータ系の等価摩擦係数
H	[N]	:	振子から台車に働く水平力

である。振子についての運動方程式は

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} J \ddot{\theta} & = & V l \sin\theta - H ... ... \\ && m \frac{d^2}{dt^2} (l \cos\theta) = V - mg \end{array}\end{displaymath}$

である。ただし，

J	[kgm²]	:	振子の重心回りの慣性モーメント
$\theta$	[rad]	:	振子の鉛直線下からの角度
V	[N]	:	台車から受ける力の垂直方向成分
l	[m]	:	軸から振子の重心までの距離
H	[N]	:	台車から受ける力の水平方向成分
c	[kgm²/s]	:	軸の摩擦係数
m	[kg]	:	振子の質量
g	[m/s²]	:	重力加速度

である。状態変数として，台車の変位r，振子の角度 $\theta$ ，台車の速度 $\dot{r}$ ，振子の角速度 $\dot{\theta}$ をとり，状態ベクトルを

$\begin{displaymath}x = \left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{array}... ...ray}{c} r\\ \theta\\ \dot{r}\\ \dot{\theta} \end{array}\right] \end{displaymath}$

とすると，倒立振子の状態方程式は次のように書ける。

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \dot{x} = f(x, u) \df && \left[ \begin{... ...cos x_2 x_4^2 + b_4 \cos x_2 u\} \end{array}\right] \end{array}\end{displaymath}$

ここで，

$\begin{displaymath}\alpha = m^2 l^2/\alpha_0 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left[ \begin{array}{ccccc} a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35... ...a_{43} & a_{44} & a_{45} & b_4 \end{array}\right]\hspace*{4cm} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} = \frac{1}{\alpha_0} \left[ \begin{array}... ...)a\\ -(M+m)c & -(ml)^2 & -(ml)a \end{array}\right] \end{array}\end{displaymath}$

ただし， $\alpha_0 = (M+m)J+Mml^2$ である。

平衡点近傍で線形近似を行なって得た線形モデルに対して，オブザーバと状態フィードバック則を設計して，シミュレーションおよびリアルタイム制御(実験)を行なう。

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Masanobu KOGA 平成10年8月19日