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シミュレーションからリアルタイム処理へ

ここでは，図D.1に示す倒立振子のオブザーバ+状態フィード バックによる制御について，シミュレーションおよびリアルタイム制御の プログラムの例を示す。        
  
図 D.1: 倒立振子制御系の実験装置
¥includegraphics[width=0.5¥linewidth]{Fig/pendulum.eps}

台車についての運動方程式は

¥begin{displaymath}M ¥ddot{r} = au - F¥dot{r} - H ¥end{displaymath}

である。ただし
M[kg] : 台車・プーリ・モータ系の等価質量
r[m] : 台車の変位
u[V] : パワーアンプへの入力電圧
a[N/V] : uから台車に働く力までのゲイン
F[N/(m/s)] : 台車・ベルト・プーリ・モータ系の等価摩擦係数
H[N] : 振子から台車に働く水平力
である。振子についての運動方程式は

¥begin{displaymath}¥begin{array}{rcl} J ¥ddot{¥theta} & = & V l ¥sin¥theta - H ... ... ¥¥ && m ¥frac{d^2}{dt^2} (l ¥cos¥theta) = V - mg ¥end{array}¥end{displaymath}

である。ただし，
J[kgm2] : 振子の重心回りの慣性モーメント
$¥theta$[rad] : 振子の鉛直線下からの角度
V[N] : 台車から受ける力の垂直方向成分
l[m] : 軸から振子の重心までの距離
H[N] : 台車から受ける力の水平方向成分
c[kgm2/s] : 軸の摩擦係数
m[kg] : 振子の質量
g[m/s2] : 重力加速度
である。 状態変数として，台車の変位r，振子の角度$¥theta$，台車の速度$¥dot{r}$， 振子の角速度 $¥dot{¥theta}$をとり，状態ベクトルを

¥begin{displaymath}x = ¥left[¥begin{array}{c} x_1¥¥ x_2¥¥ x_3¥¥ x_4 ¥end{array}... ...ray}{c} r¥¥ ¥theta¥¥ ¥dot{r}¥¥ ¥dot{¥theta} ¥end{array}¥right] ¥end{displaymath}

とすると，倒立振子の状態方程式は次のように書ける。

¥begin{displaymath}¥begin{array}{rcl} ¥dot{x} = f(x, u) ¥df && ¥left[ ¥begin{... ...cos x_2 x_4^2 + b_4 ¥cos x_2 u¥} ¥end{array}¥right] ¥end{array}¥end{displaymath}

ここで，

¥begin{displaymath}¥alpha = m^2 l^2/¥alpha_0 ¥end{displaymath}


¥begin{displaymath}¥left[ ¥begin{array}{ccccc} a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35... ...a_{43} & a_{44} & a_{45} & b_4 ¥end{array}¥right]¥hspace*{4cm} ¥end{displaymath}


   ¥begin{displaymath}¥begin{array}{l} = ¥frac{1}{¥alpha_0} ¥left[ ¥begin{array}... ...)a¥¥ -(M+m)c & -(ml)^2 & -(ml)a ¥end{array}¥right] ¥end{array}¥end{displaymath}

ただし， $¥alpha_0 = (M+m)J+Mml^2$である。

平衡点近傍で線形近似を行なって得た線形モデルに対して， オブザーバと状態フィードバック則を設計して，シミュレーションおよび リアルタイム制御(実験)を行なう。

 
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Masanobu KOGA 平成10年8月19日